17153. В треугольнике ABC
проведена медиана BD
, \angle ABC=135^{\circ}
. Окружность, описанная около треугольника BCD
, касается прямой AB
, её радиус равен R
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{R^{2}(1+\sqrt{3})}{2}
.
Решение. Обозначим AD=CD=x
. По теореме об угле между касательной и хордой \angle BCD=\angle ABD
, поэтому треугольники ABC
и ADB
с общим углом при вершине A
подобны по двум углам. Значит,
\angle ADB=\angle ABC=135^{\circ}~\Rightarrow~\angle BDC=180^{\circ}-\angle ADB=45^{\circ}.
Тогда по теореме синусов
BC=2R\sin\angle BDC=R\sqrt{2},
а по теореме о касательной и секущей
AB^{2}=AD\cdot AC=x\cdot2x=2x^{2}.
По теореме косинусов из треугольника ABC
получаем
AC^{2}=AB^{2}+BC^{2}-2AB\cdot BC\cos135^{\circ},~\mbox{или}~4x^{2}=2x^{2}+2R^{2}+2\cdot x\sqrt{2}\cdot R\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x^{2}-Rx\sqrt{2}-R^{2}=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=\frac{R(\sqrt{2}+\sqrt{6})}{2}
этого уравнения. Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot BC\sin135^{\circ}=\frac{1}{2}x\sqrt{2}\cdot R\sqrt{2}\cdot\frac{1}{\sqrt{2}}=\frac{R^{2}(1+\sqrt{3})}{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1987, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 43, задача 3, вариант 2