17155. В треугольнике ABC
проведена медиана BD
, \angle ABC=120^{\circ}
. Окружность, описанная около треугольника BCD
, касается прямой AB
, её радиус равен R
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{3R^{2}(\sqrt{15}+\sqrt{3})}{8}
.
Указание. Если O
— центр окружности, то \angle BOC=120^{\circ}
, поэтому BC=R\sqrt{3}
. Используя теорему косинусов и теорему о касательной и секущей, находим AB=\frac{R(\sqrt{15}+\sqrt{3})}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1987, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 44, задача 3, вариант 4