17155. В треугольнике
ABC
проведена медиана
BD
,
\angle ABC=120^{\circ}
. Окружность, описанная около треугольника
BCD
, касается прямой
AB
, её радиус равен
R
. Найдите площадь треугольника
ABC
.
Ответ.
\frac{3R^{2}(\sqrt{15}+\sqrt{3})}{8}
.
Указание. Если
O
— центр окружности, то
\angle BOC=120^{\circ}
, поэтому
BC=R\sqrt{3}
. Используя теорему косинусов и теорему о касательной и секущей, находим
AB=\frac{R(\sqrt{15}+\sqrt{3})}{2}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1987, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1987, с. 44, задача 3, вариант 4