17156. Окружность с центром
O_{1}
и радиусом 3 касается продолжения стороны
AB
угла
ABC
, её центр лежит на стороне
BC
. Окружность с центром
O_{2}
и радиусом 1 касается сторон угла
ABC
и первой окружности. Найдите угол
ABC
.
Ответ.
2\arctg\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3}
.
Решение. Из условия задачи следует, что угол
ABC
тупой (см. рис.). Пусть
L
и
K
соответственно точки касания соответственно первой и второй окружностей с прямой
AB
. Тогда
KL=2\sqrt{3}
(см. задачу 365).
Обозначим
\angle KBO_{2}=\alpha
. Луч
BO_{2}
— биссектриса угла
ABC
, поэтому
\angle ABC=\alpha,~\angle O_{1}BL=2\alpha.

Заметим, что
BK=O_{2}K\ctg\alpha=\ctg\alpha,~BL=O_{1}L\ctg(180^{\circ}-2\alpha)=-3\ctg2\alpha.

Учитывая, что
KL=BK+BL
, получаем уравнение
\ctg\alpha-3\ctg2\alpha=2\sqrt{3}.

Обозначим
\tg\alpha=t
. Тогда
\ctg\alpha=\frac{1}{t},~\ctg2\alpha=\frac{1}{\tg2\alpha}=\frac{1-t^{2}}{2t}.

Значит,
\frac{1}{t}+\frac{t^{2}-1}{2t}=2\sqrt{3}.

После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
3t^{2}-4\sqrt{3}t-1=0.

Условию задачи удовлетворяет только его положительный корень
t=\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{2}}{3}
(так как
\alpha\lt90^{\circ}
). Следовательно,
\angle ABC=2\alpha=2\arctg\frac{\sqrt{15}+2\sqrt{3}}{3}.

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 45, задача 3, вариант 1.1
Источник: Журнал «Квант». — 1989, № 3, с. 65, задача 3, вариант 1