17158. Окружность с центром
O_{1}
и радиусом 2 касается продолжения стороны
AB
угла
ABC
, её центр лежит на стороне
BC
. Окружность с центром
O_{2}
и радиусом 3 касается сторон угла
ABC
и первой окружности. Найдите угол
ABC
.
Ответ.
2\arctg(\sqrt{6}-2)=\arcsin\frac{6\sqrt{6}+4}{25}
.
Решение. Из условия задачи следует, что угол
ABC
острый (см. рис.). Пусть
L
и
K
соответственно точки касания соответственно первой и второй окружностей с прямой
AB
. Тогда
LK=2\sqrt{6}
(см. задачу 365).
Обозначим
\angle KBO_{2}=\alpha
. Луч
BO_{2}
— биссектриса угла
ABC
, поэтому
\angle O_{1}BL=\angle ABC=2\alpha.

Заметим, что
BK=O_{2}K\ctg\alpha=3\ctg\alpha,~BL=O_{1}L\ctg2\alpha=2\ctg2\alpha.

Учитывая, что
BK=BK-BL
, получаем уравнение
3\ctg\alpha-2\ctg2\alpha=2\sqrt{6}.

Обозначим
\tg\alpha=t
. Тогда
\ctg\alpha=\frac{1}{t},~\ctg2\alpha=\frac{1}{\tg2\alpha}=\frac{1-t^{2}}{2t}.

Значит,
\frac{3}{t}-\frac{2(1-t^{2})}{2t}=2\sqrt{6}.

После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
t^{2}-2t\sqrt{6}+2=0.

с корнями
t=\sqrt{6}\pm2
. Поскольку
\sqrt{6}+2\gt1
, получим, что
\alpha\gt45^{\circ}
, что невозможно, так как угол
ABC
острый. Условию задачи удовлетворяет только
t=\sqrt{6}-2
(так как
\alpha\lt90^{\circ}
). Следовательно,
\angle ABC=2\alpha=2\arctg2(\sqrt{6}-2).

Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 46, задача 3, вариант 1.3