17158. Окружность с центром O_{1}
и радиусом 2 касается продолжения стороны AB
угла ABC
, её центр лежит на стороне BC
. Окружность с центром O_{2}
и радиусом 3 касается сторон угла ABC
и первой окружности. Найдите угол ABC
.
Ответ. 2\arctg(\sqrt{6}-2)=\arcsin\frac{6\sqrt{6}+4}{25}
.
Решение. Из условия задачи следует, что угол ABC
острый (см. рис.). Пусть L
и K
соответственно точки касания соответственно первой и второй окружностей с прямой AB
. Тогда LK=2\sqrt{6}
(см. задачу 365).
Обозначим \angle KBO_{2}=\alpha
. Луч BO_{2}
— биссектриса угла ABC
, поэтому
\angle O_{1}BL=\angle ABC=2\alpha.
Заметим, что
BK=O_{2}K\ctg\alpha=3\ctg\alpha,~BL=O_{1}L\ctg2\alpha=2\ctg2\alpha.
Учитывая, что BK=BK-BL
, получаем уравнение
3\ctg\alpha-2\ctg2\alpha=2\sqrt{6}.
Обозначим \tg\alpha=t
. Тогда
\ctg\alpha=\frac{1}{t},~\ctg2\alpha=\frac{1}{\tg2\alpha}=\frac{1-t^{2}}{2t}.
Значит,
\frac{3}{t}-\frac{2(1-t^{2})}{2t}=2\sqrt{6}.
После очевидных упрощений получим квадратное уравнение
t^{2}-2t\sqrt{6}+2=0.
с корнями t=\sqrt{6}\pm2
. Поскольку \sqrt{6}+2\gt1
, получим, что \alpha\gt45^{\circ}
, что невозможно, так как угол ABC
острый. Условию задачи удовлетворяет только t=\sqrt{6}-2
(так как \alpha\lt90^{\circ}
). Следовательно,
\angle ABC=2\alpha=2\arctg2(\sqrt{6}-2).
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1988, задача 3, вариант 1.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1988, с. 46, задача 3, вариант 1.3