17168. Через вершину A
квадрата ABCD
проведена прямая l
, не пересекающая стороны BC
и CD
. Прямые BC
, CD
и BD
пересекают прямую l
соответственно в точках M
, N
и K
. Найдите сторону квадрата, если известно, что MN=3
, NK=1
.
Ответ. \frac{2}{\sqrt{5}}
.
Решение. Через точку M
проведём прямую, параллельную CD
. Пусть R
— точка её пересечения с прямой BD
. Тогда BMR
— равнобедренный прямоугольный треугольник.
Пусть сторона квадрата равна x
, а угол \angle DAN=\alpha
. Тогда
DN=AD\tg\alpha=x\tg\alpha,~\angle AMB=\alpha,~RM=BM=x\ctg\alpha.
Из подобия треугольников KDN
и KRM
получаем
\frac{DN}{MR}=\frac{KN}{KM},~\mbox{или}~\tg^{2}\alpha=\frac{1}{4},
так как \alpha\lt90^{\circ}
, то
\tg\alpha=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{1}{\sqrt{1+\tg^{2}\alpha}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Значит,
RM=x\ctg\alpha=2x=2AB,
поэтому AB
— средняя линия треугольника KMR
, а A
— середина KM
. Тогда
KA=\frac{1}{2}KM=\frac{1}{2}\cdot4=2,~AN=KA-KN=2-1=1.
Из прямоугольного треугольника ADN
находим, что
x=AD=AN\cos\angle DAN=AN\cos\alpha=1\cdot\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2}{\sqrt{5}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 53, задача 3, вариант 2