17170. Через вершину D
ромба ABCD
проведена прямая l
, не пересекающая стороны AB
и BC
. Прямые AB
, BC
и AC
пересекают прямую l
в точках P
, Q
и R
соответственно. Найдите QR
, если известно, что PD=6
, DQ=4
.
Ответ. 8.
Решение. Обозначим QR=x
, CD=a
и CQ=t
. Из параллельности CD
и BP
следует подобие треугольников CQD
и BQP
, поэтому
\frac{CQ}{BQ}=\frac{DQ}{PQ},~\mbox{или}~\frac{t}{t+a}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}~\Rightarrow~a=\frac{3}{2}t.
Из параллельности CQ
и AD
также следует подобие треугольников CQR
и ADR
, поэтому
\frac{QR}{DR}=\frac{CQ}{AD},~\mbox{или}~\frac{x}{x+4}=\frac{t}{a}=\frac{t}{\frac{3}{2}t}=\frac{2}{3}~\Rightarrow~x=8.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1990, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1990, с. 53, задача 3, вариант 3