17172. В треугольнике ABC
со сторонами AB=10
, AC=8
, BC=6
проведена медиана CM
. Прямая, параллельная стороне AC
, пересекает отрезки AB
, CM
и BC
в точках P
, Q
и R
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников PMQ
и CQR
.
Ответ. 4.
Решение. Треугольник ABC
прямоугольный с прямым углом при вершине C
, так как
AC^{2}+BC^{2}=64+36=100=AB^{2}.
Пусть L
— середина катета BC
. Тогда
S_{\triangle CML}=S_{\triangle BML}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}\cdot\frac{1}{2}\cdot6\cdot8=6,
S_{\triangle AMC}=\frac{1}{2}S_{\triangle ABC}=12.
Обозначим \frac{CR}{LR}=x
. Тогда
CR=xLR,~CR+LR=CL=\frac{1}{2}BC=3,~LR(x+1)=3~\Rightarrow
\Rightarrow~LR=\frac{3}{x+1}~\mbox{и}~CR=\frac{3x}{x+1}.
Треугольник PMQ
подобен треугольнику AMC
с коэффициентом
\frac{MP}{MA}=\frac{LR}{LC}=\frac{\frac{3}{x+1}}{3}=\frac{1}{x+1},
а треугольник CQR
подобен треугольнику CML
с коэффициентом
\frac{CR}{CL}=\frac{\frac{3x}{x+1}}{3}=\frac{x}{x+1}.
Значит,
S_{\triangle PMQ}+S_{\triangle CQR}=\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}S_{\triangle AMC}+\left(\frac{x}{x+1}\right)^{2}S_{\triangle CML}=
=\left(\frac{1}{x+1}\right)^{2}\cdot12+\left(\frac{x}{x+1}\right)^{2}\cdot6=\frac{6(2+x^{2})}{(x+1)^{2}}.
Найдём x
на промежутке [0;3]
, для которого функция f(x)=\frac{2+x^{2}}{(x+1)^{2}}
принимает на этом промежутке наименьшее значение. Производная этой функции имеет вид
f'(x)=\frac{2x(x+1)^{2}-2(x+1)(2+x^{2})}{(x+1)^{4}}=\frac{2(x+1)(x^{2}+x-2-x^{2}}{(x+1)^{4}}=\frac{2(x-2)}{(x+1)^{3}}.
Тогда f'(x)=0
при x=2
; на промежутке [0;2)
функция f(x)
убывает, так как f'(x)\lt0
; а промежутке (2;3]
функция f(x)
возрастает, так как f'(x)\gt0
. Значит, наименьшее значение этой функции на промежутке [0;3]
, а значит, и искомое наименьшее значение суммы площадей, достигается при x=2
.
Следовательно, наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников PMQ
и CQR
равно
6f(2)=6\cdot\frac{(2+4)}{(2+1)^{2}}=4.
Примечание. Идея другого способа. Треугольник ABC
прямоугольный. Пусть N
— середина катета BC
, тогда площади треугольников AMC
и CMN
равны соответственно 12 и 6. Если обозначить через x
отношение отрезков MP
и MA
, то сумма S(x)
площадей треугольников PMQ
и CQR
равна
12x^{2}+6(1-x)^{2}=18\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+4.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 55, задача 2, вариант 2
Источник: Журнал «Квант». — 1992, № 3, с. 59, задача 2, вариант 1