17173. В треугольнике ABC
со сторонами AB=5
, AC=2\sqrt{5}
, BC=\sqrt{5}
проведена высота CH
. Прямая, параллельная стороне AC
, пересекает отрезки AB
, CH
и BC
в точках M
, N
и K
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников MHN
и CNK
.
Ответ. \frac{2}{3}
.
Указание. Треугольник ABC
прямоугольный, BH=1
, AH=4
. Если обозначить через x
отношение отрезков HM
и AH
, то сумма S(x)
площадей треугольников MHN
и CNK
равна
4x^{2}+\frac{4}{5}(1-x)^{2}=\frac{24}{5}\left(x-\frac{1}{6}\right)^{2}+\frac{2}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1991, задача 2, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 56, задача 2, вариант 3