17174. В равностороннем треугольнике ABC
со стороной 2 проведена высота BH
. Прямая, параллельная стороне AB
, пересекает отрезки AC
, BH
и BC
в точках M
, N
, K
соответственно. Найдите наименьшее возможное значение суммы площадей треугольников MNH
и BNK
.
Ответ. \frac{\sqrt{3}}{6}
.
Указание. Если x
— отношение отрезков HM
и AH
, то сумма S(x)
площадей треугольников MNH
и BNK
равна
\frac{\sqrt{3}}{2}x^{2}+\frac{\sqrt{3}}{4}(1-x)^{2}=\frac{3\sqrt{3}}{4}\left(x-\frac{1}{3}\right)^{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1991, задача 2, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1991, с. 56, задача 2, вариант 4