17183. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
вершины A
, C
, середина стороны BC
и точка пересечения высот расположены на одной окружности. Найдите углы треугольника ABC
.
Ответ. \angle A=\angle B=\arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
, \angle C=180^{\circ}-2\arccos\frac{\sqrt{2}}{4}
.
Решение. Обозначим \angle C=\gamma
, AB=a
, AC=BC=b
. Пусть CQ
и AP
— высоты треугольника ABC
, а H
— точка пересечения высот.
Острые углы при вершинах A
и C
прямоугольных треугольников BQC
и BPA
равны, так как равны их острые углы при общей вершине B
. Значит,
\angle BAP=\angle BCQ=\frac{\gamma}{2}.
В то же время, поскольку точки A
, C
, M
и H
лежат на одной окружности, то равны вписанные в эту окружность углы HAM
и HCM
, опирающиеся на одну и ту же дугу, т. е.
\angle PAM=\angle HAM=\angle HCM=\angle BCQ=\frac{\gamma}{2}.
Таким образом, высота AP
треугольника BAM
является его биссектрисой, поэтому треугольник ABM
равнобедренный, AM=AB
. Значит, равнобедренные треугольники BMA
и ABC
общим углом B
при основаниях подобны. Тогда
\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{AB},~\mbox{или}~\frac{a}{b}=\frac{\frac{b}{2}}{a}=\frac{b}{2a},
откуда
\frac{a^{2}}{b^{2}}=\frac{1}{2}~\Rightarrow~\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{2}~\Rightarrow~\cos\angle ABC=\frac{BQ}{BC}=\frac{\frac{a}{2}}{b}=\frac{1}{2}\cdot\frac{a}{b}=\frac{\sqrt{2}}{4}.
Следовательно,
\angle A=\angle B=\arccos\frac{\sqrt{2}}{4},~\angle C=180^{\circ}-2\arccos\frac{\sqrt{2}}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1994, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 62, задача 3, вариант 1