17184. В тупоугольном равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
вершины A
, C
и точка пересечения высот расположены на окружности радиуса 5. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AC=6
.
Ответ. \frac{432}{25}
.
Решение. Пусть AP
и CQ
— высоты, H
— точка их пересечения, а O
— центр окружности. Тогда углы AHQ
и ABP
равны как острые углы прямоугольных треугольников AHQ
и BPA
с общим острым углом при вершине A
.
Обозначим
\angle ABC=\angle ABP=\angle BAC=\angle AHQ=\angle AHC=\alpha,
R
— радиус окружности, проходящей через точки A
, C
и H
(R=5
). По теореме синусов
\sin\alpha=\sin\angle AHC=\frac{AC}{2R}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}~\Rightarrow~\cos\alpha=\frac{4}{5}.
Из прямоугольного треугольника BQC
находим
CQ=BC\sin\alpha=6\cdot\frac{3}{5}=\frac{18}{5},~BQ=BC\cos\alpha=6\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{5}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB\cdot CQ=BQ\cdot CQ=\frac{24}{5}\cdot\frac{18}{5}=\frac{432}{25}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1994, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 62, задача 3, вариант 2