17185. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AB
вершины A
, C
и точка пересечения высот лежат на окружности, которая пересекает сторону BC
в точке M
. Известно, что BM=4
, CM=5
. Найдите основание AB
.
Ответ. 6.
Решение. Обозначим \angle C=\gamma
, AB=a
, AC=BC=b=9
. Пусть CQ
и AP
— высоты треугольника ABC
, а H
— точка пересечения высот.
Острые углы при вершинах A
и C
прямоугольных треугольников BQC
и BPA
равны, так как равны их острые углы при общей вершине B
. Значит,
\angle BAP=\angle BCQ=\frac{\gamma}{2}.
В то же время, поскольку точки A
, C
, M
и H
лежат на одной окружности, то равны вписанные в эту окружность углы HAM
и HCM
, опирающиеся на одну и ту же дугу, т. е.
\angle PAM=\angle HAM=\angle HCM=\angle BCQ=\frac{\gamma}{2}.
Таким образом, высота AP
треугольника BAM
является его биссектрисой, поэтому треугольник ABM
равнобедренный, AM=AB
. Значит, равнобедренные треугольники BMA
и ABC
общим углом B
при основаниях подобны. Тогда
\frac{AB}{AC}=\frac{BM}{AB},~\mbox{или}~\frac{a}{9}=\frac{4}{a},
откуда AB=a=6
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1994, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1994, с. 63, задача 3, вариант 3