17187. В треугольнике ABC
радиус вписанной окружности равен \sqrt{5}
, расстояние от её центра до вершины C
равно 5 и сторона AB
равна 4\sqrt{5}
. Найдите стороны AC
и BC
.
Ответ. AC=3\sqrt{5}
и BC=5\sqrt{5}
или AC=5\sqrt{5}
и BC=3\sqrt{5}
.
Решение. Пусть K
, L
и M
— точки касания окружности со сторонами BC
, CA
и AB
соответственно, \angle C=\gamma
. Из прямоугольного треугольника OLC
находим
LC^{2}=OC^{2}-OL^{2}=20,~\cos\frac{\gamma}{2}=\frac{LC}{OC}=\frac{2}{\sqrt{5}},~\cos\gamma=2\cos^{2}\frac{\gamma}{2}-1=\frac{3}{5}.
Обозначим AC=x
и BC=y
. Тогда
4\sqrt{5}=AB=AM+MB=AL+BK=x-2\sqrt{5}+y-2\sqrt{5}~\Rightarrow~x+y=9\sqrt{5}.
С другой стороны, по теореме косинусов
AB^{2}=AC^{2}+BC^{2}-2AC\cdot BC\cos\gamma=x^{2}+y^{2}-2xy\cdot\frac{3}{5}=(4\sqrt{5})^{2}=80.
Таким образом,
\syst{x+y=9\sqrt{5}\\x^{2}+y^{2}-2xy\cdot\frac{3}{5}=80\\}~\Leftrightarrow~\syst{x+y=9\sqrt{5}\\x^{2}+y^{2}-2xy\cdot\frac{3}{5}=80\\}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\syst{x+y=9\sqrt{5}\\xy=75.\\}
Из последней системы находим, что x=3\sqrt{5}
и y=5\sqrt{5}
или x=5\sqrt{5}
и y=3\sqrt{5}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1996, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 68, задача 3, вариант 1.1