17191. В равнобедренном треугольнике ABC
с основанием AC
вписанная окружность касается боковой стороны BC
в точке Q
, а отрезок AQ
пересекает вписанную окружность в точке P
. Найдите площадь треугольника ABC
, если известно, что AC=12
, PQ=5
.
Ответ. \frac{108\sqrt{15}}{11}
.
Решение. Вписанная окружность касается основания AB
равнобедренного треугольника в его середине D
. Обозначим AP=x
. Тогда по теореме о касательной и секущей
AD^{2}=AP\cdot AQ=x(x+5),~\mbox{или}~x(x+5)=36~\Leftrightarrow~x^{2}+5x-36=0.
Условию задачи удовлетворяет только положительный корень x=4
этого уравнения. Значит, AP=4
и AQ=9
.
Обозначим \angle ACQ=\angle BAC=\alpha
Из треугольника AQC
со сторонами
CQ=CD=6,~AC=12,~AQ=9
по теореме косинусов находим, что
\cos\alpha=\frac{AC^{2}+CQ^{2}-AQ^{2}}{2AC\cdot CQ}=\frac{144+36^{2}-81}{2\cdot12\cdot9}=\frac{11}{16},
поэтому
\tg\alpha=\sqrt{\frac{1}{\cos^{2}\alpha}-1}=\sqrt{\frac{16^{2}}{11^{2}}-1}=\frac{\sqrt{16^{2}-11^{2}}}{11}=\frac{\sqrt{5\cdot27}}{11}=\frac{3\sqrt{15}}{11}.
Из прямоугольного треугольника ABD
находим, что
BD=AD\tg\alpha=6\cdot\frac{3\sqrt{15}}{11}=\frac{18\sqrt{15}}{11}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BD=AD\cdot BD\tg\alpha=6\cdot\frac{18\sqrt{15}}{11}=\frac{108\sqrt{15}}{11}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1996, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1996, с. 71, задача 3, вариант 2.1