17195. В параллелограмме ABCD
биссектрисы углов A
и D
пересекают сторону BC
в точках M
и K
соответственно, а отрезки AM
и DK
пересекаются в точке P
. Найдите сторону BC
, если известно, что AB=15
и AP:PM=3:2
.
Ответ. 18.
Решение. Обозначим BC=AD=x
. Из параллельности AD
и BC
получаем
\angle AMB=\angle DAM=\angle BAC,
поэтому треугольник ABM
равнобедренный, BM=AB=15
. Аналогично, CK=CD=15
. Тогда
BC=BM+CK-KM,~\mbox{или}~x=15+15-KM~\Rightarrow~KM=30-x.
Из подобия треугольников APD
и MPK
получаем
\frac{3}{2}=\frac{AP}{PM}=\frac{AD}{KM}=\frac{x}{30-x},
откуда x=18
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1997, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 73, задача 3, вариант 1.1