17196. В параллелограмме ABCD
биссектрисы углов B
и C
пересекают сторону AD
в точках M
и K
соответственно, а продолжения отрезков BM
и CK
пересекаются в точке P
. Найдите сторону AD
, если известно, что AB=12
и PM:MB=1:4
.
Ответ. 30.
Решение. Обозначим BC=AD=x
. Из параллельности AD
и BC
получаем
\angle AMB=\angle CBM=\angle ABM,
поэтому треугольник ABM
равнобедренный, AM=AB=12
. Аналогично, DK=CD=12
. Тогда
AD=AM+MK+DK,~\mbox{или}~x=12+MK+12~\Rightarrow~MK=x-24.
Треугольники MPK
и BPC
подобны с коэффициентом \frac{1}{5}
, поэтому
\frac{1}{5}=\frac{PM}{PB}=\frac{MK}{BC}=\frac{x-24}{x},
откуда x=30
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1997, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 74, задача 3, вариант 1.2