17199. В остроугольном треугольнике ABC
на стороне AB
выбрана точка D
, для которой AD:DB=4:5
. Известно, что треугольники ABC
и ACD
подобны, \angle ABC=\arccos\frac{3}{4}
, CD=10
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. \frac{24}{\sqrt{7}}
.
Решение. Пусть AD=4x
, BD=5x
, BC=a
, AC=b
, а угол, противолежащий стороне AC
, равен \beta
.
Из подобия треугольников ABC
и ACD
получаем
\frac{BC}{CD}=\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD},~\mbox{или}~\frac{a}{10}=\frac{9x}{b}=\frac{b}{4x},
откуда
36x^{2}=b^{2},~b=6x,~BC=a=6x,~a=10\cdot\frac{b}{4x}=10\cdot\frac{6x}{4x}=15.
По теореме косинусов
CD^{2}=BC^{2}+BD^{2}-2BC\cdot BD\cos\beta,~\mbox{или}~100=225+25x^{2}-150x\cdot\frac{3}{4}~\Leftrightarrow~x^{2}-\frac{9}{2}x+5=0
Корни полученного квадратного уравнения — x=2
или x=\frac{5}{2}
.
Пусть x=2
. Тогда
AB=9\cdot2=18,~AC=b=6x=12,~AC^{2}+BC^{2}=12^{2}+15^{2}\gt324=AB^{2}.
Значит, треугольник ABC
остроугольный и корень x=2
не противоречит условию задачи.
Пусть x=\frac{5}{2}
. Тогда
AB=9x=9\cdot\frac{5}{2}=\frac{45}{2},~AC=6x=15=BC,~AC^{2}+BC^{2}=225+225=450\lt AB^{2}=\frac{45^{2}}{4}.
Последнее неравенство верно, так как
450\cdot4\lt45^{2}~\Leftrightarrow~10\lt\frac{45}{4}.
Значит, треугольник тупоугольный и корень x=\frac{5}{2}
посторонний.
Пусть R
— искомый радиус описанной окружности треугольника ABC
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ABC}=\frac{b}{2\sin\beta}=\frac{b}{2\sqrt{1-\cos^{2}\beta}}=\frac{12}{2\sqrt{1-\frac{9}{16}}}=\frac{6}{\sqrt{7}}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1997, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 75, задача 3, вариант 2.1