17200. В треугольнике ABC
на стороне AB
выбрана точка D
, для которой AD:DB=8:1
. Известно, что треугольники ABC
и ACD
подобны, \angle BAC=45^{\circ}
, CD=2\sqrt{10}
. Найдите площадь треугольника BCD
.
Ответ. 3.
Решение. Пусть AD=8x
, BD=x
, AC=b
. Из подобия треугольников ABC
и ACD
получаем
\frac{AB}{AC}=\frac{AC}{AD},~\mbox{или}~\frac{9x}{b}=\frac{b}{8x}~\Rightarrow~b^{2}=72x^{2}~\Rightarrow~AC=b=6x\sqrt{2}.
По теореме косинусов
CD^{2}=AC^{2}+AD^{2}-2AC\cdot AD\cos45^{\circ},~\mbox{или}~40=72x^{2}+64x^{2}-96x^{2}~\Leftrightarrow~x^{2}=1.
Значит, x=1
.
Пусть CH
— высота треугольника ACD
. Из прямоугольного треугольника ACH
находим, что
CH=AC\sin45^{\circ}=b\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6x\sqrt{2}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=6.
Следовательно,
S_{\triangle BCD}=\frac{1}{2}BD\cdot CH=\frac{1}{2}x\cdot6=3.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1997, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1997, с. 76, задача 3, вариант 2.2