17212. В треугольнике ABC
на продолжении медианы BM
выбрана точка K
, для которой MK:BM=1:2
. Известно, что AB=5
, BC=3
, CK=4
. Найдите AK
.
Ответ. 2\sqrt{2}
.
Решение. Обозначим AM=MC=x
, MK=y
, \angle BMC=\alpha
. Тогда BM=2y
.
По теореме косинусов из треугольников AMB
, BMC
, CMK
и AMK
получаем систему
\syst{AB^{2}=x^{2}+4y^{2}+4xy\cos\alpha\\BC^{2}=x^{2}+4y^{2}-4xy\cos\alpha\\CK^{2}=x^{2}+y^{2}+2xy\cos\alpha\\AK^{2}=x^{2}+y^{2}-2xy\cos\alpha.\\}
Из первых двух равенств следует, что
8xy\cos\alpha=AB^{2}-BC^{2}=25-9=16,
откуда xy\cos\alpha=2
.
Из последних двух равенств следует, что
CK^{2}-AK^{2}=4xy\cos\alpha=8,
поэтому
AK^{2}=CK^{2}-8=8,~AK=2\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 1999, задача 3, вариант 1.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 84, задача 3, вариант 1.2; с. 183, задача 3, вариант 1.1
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 1.1