17215. Луч света, выпущенный из точки (0;0)
в направлении точки (2;1)
, отражается от прямой x+2y=3
по закону «угол падения равен углу отражения». Найдите точку пересечения отражённого луча с осью абсцисс Ox
. Система координат Oxy
на плоскости — прямоугольная.
Ответ. \left(\frac{18}{11};0\right)
.
Решение. Уравнение прямой x+2y=3
в отрезках имеет вид \frac{x}{3}+\frac{y}{\frac{3}{2}}=1
, поэтому она пересекает оси координат в точках A(3;0)
и B\left(0;\frac{3}{2}\right)
. Прямая, проходящая через начало координат и точку (2;1)
задаётся уравнением y=\frac{1}{2}x
. Решив систему уравнений
\syst{x+2y=3\\y=\frac{1}{2}x,\\}
получим, что эти прямые пересекаются в точке Q\left(\frac{3}{2};\frac{3}{4}\right)
.
Пусть отражённый луч пересекает ось Ox
в точке P
. Отложим на луче OQ
отрезок QR
, равный QP
По закону отражения \angle PQA=\angle OQB
, а углы \angle RQA
и \angle OQB
равны как вертикальные. Следовательно, \angle RQA=\angle PQA
и треугольники RQA
и PQA
равны по двум сторонам и углу между ними.
Пусть \angle PAQ=\angle RAQ=\alpha
. Из прямоугольного треугольника OAB
находим, что \tg\alpha=\frac{1}{2}
Тогда угловой коэффициент прямой AR
равен
\tg(180^{\circ}-2\alpha)=-\tg2\alpha=\frac{2\tg\alpha}{\tg^{2}\alpha-1}=\frac{1}{\frac{1}{4}-1}=-\frac{4}{3}.
Точка A(3;0)
лежит на прямой AR
, поэтому уравнение прямой AR
имеет вид y=\frac{4}{3}x+4
. Решив систему уравнений
\syst{y=\frac{1}{2}x\\y=\frac{4}{3}x+4,\\}
найдём координаты точки R
пересечения прямых OQ
и AR
, т. е. R\left(\frac{24}{11};\frac{12}{11}\right)
. Таким образом,
AP=\sqrt{\left(3-\frac{24}{11}\right)^{2}+\left(\frac{11}{12}\right)^{2}}=\frac{15}{11}.
Следовательно,
OP=OA-AP=3-\frac{15}{11}=\frac{18}{11},
т. е. отражённый луч пересекает ось абсцисс в точке с координатами \left(\frac{18}{11};0\right)
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1999, задача 4, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 84, задача 4, вариант 1.1