17219. В окружность вписан прямоугольник со сторонами 6 и 8. Из некоторой точки M
данной окружности на диагонали прямоугольника опущены перпендикуляры MP
и MQ
. Докажите, что длина отрезка PQ
не зависит от выбора точки M
на окружности, и найдите PQ
.
Ответ. \frac{24}{5}
.
Решение. Пусть AB=8
, BC=6
, O
— центр описанной около прямоугольника окружности. Её диаметр равен 10. Будем считать для определённости, что точка M
лежит на дуге AB
(см. рис.). Из точек P
и Q
отрезок OM
виден под прямым углом, значит, эти точки лежат на окружности с диаметром OM=5
и радиусом r=\frac{5}{2}
.
Обозначим \angle CAB=\alpha
. Тогда
\cos\alpha=\frac{AB}{AC}=\frac{3}{5},~\sin\alpha=\frac{3}{5}.
По теореме о внешнем угле треугольника
\angle COB=2\alpha,~\angle QOP=180^{\circ}-2\alpha.
Треугольник POQ
вписан в окружность радиуса r
, поэтому по теореме синусов
PQ=2r\sin(180^{\circ}-2\alpha)=2r\sin2\alpha=4r\sin\alpha\cos\alpha=4\cdot\frac{5}{2}\cdot\frac{3}{5}\cdot\frac{4}{5}=\frac{24}{5}.
Аналогично для любого другого случая расположения точки M
на описанной окружности данного прямоугольника.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 86, задача 3, вариант 2.1