17220. На плоскости проведены две прямые под углом 60^{\circ}
друг к другу. Из некоторой точки M
плоскости на эти прямые опущены перпендикуляры MP
и MQ
. Известно, что PQ=3
. Докажите, что все такие точки M
лежат на одной окружности, и найдите её радиус.
Ответ. 2\sqrt{3}
.
Решение. Пусть данные прямые пересекаются в точке O
. Эти прямые образуют четыре угла, два из которых равны 60^{\circ}
, а два другие — 120^{\circ}
. Из точек P
и Q
отрезок OM
виден под прямым углом, значит, точки P
и Q
лежат на окружности с диаметром OM
.
Если точка M
расположена внутри (или на стороне) угла, равного 60^{\circ}
, то по теореме синусов
OM=\frac{PQ}{\sin60^{\circ}}=\frac{6}{\sqrt{3}}=2\sqrt{3}.
Если же точка M
расположена внутри угла, равного 120^{\circ}
, то аналогично получаем
OM=\frac{PQ}{\sin120^{\circ}}=\frac{PQ}{\sin60^{\circ}}2\sqrt{3}.
Значит, все такие точки M
лежат на окружности с центром O
и радиусом 2\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 1999, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1999, с. 87, задача 3, вариант 2.2