17227. В окружность радиуса 9 вписан треугольник ABC
, у которого медиана BM
и высота BH
равны соответственно 11 и 7. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 7\sqrt{65}
.
Решение. Пусть M
— середина стороны AC
, а N
— проекция центра O
описанной окружности данного треугольника на прямую BH
. Тогда OM\perp AC
(см. задачу 1676), а OMHN
— прямоугольник, поэтому
ON^{2}=MH^{2}=BM^{2}-BH^{2}=121-49=72,~BN=\sqrt{OB^{2}-ON^{2}}=\sqrt{81-72}=3.
Значит, либо
OM=NH=BH-BN=7-3=4,
если точка N
лежит на отрезке BH
, либо
OM=NH=BH+BN=7+3=10,
если точка N
лежит на продолжении отрезка BH
за точку B
. Второй случай невозможен, так как тогда
OM=10\gt9=OB=OA,
т. е. в прямоугольном треугольнике AOM
катет OM
больше гипотенузы OA
. Следовательно, OM=4
.
Из прямоугольного треугольника AMO
находим, что
AM=\sqrt{OA^{2}-OM^{2}}=\sqrt{81-16}=\sqrt{65}~\Rightarrow~AC=2AM=2\sqrt{65}.
Следовательно,
S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AC\cdot BH=\frac{1}{2}\cdot2\sqrt{65}\cdot7=7\sqrt{65}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 91, задача 3, вариант 2.1