17229. В окружность радиуса 5\sqrt{2}
вписан треугольник ABC
. Его медиана BM
равна 8 и образует со стороной AC
угол 45^{\circ}
. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. 16\sqrt{6}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, BH
— высота, ON
— перпендикуляр, опущенный из точки O
на BH
. По теореме Пифагора из прямоугольных треугольников BMH
, OBN
и AOM
находим
BH=MH=ON=4\sqrt{2},~BN=3\sqrt{2},~NH=OM=\sqrt{2},~AM=4\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 2.3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 92, задача 3, вариант 2.3