17230. В окружность радиуса \sqrt{5}
вписан треугольник ABC
. Его медиана BM
равна 3, а расстояние между центром окружности и точкой пересечения медиан треугольника ABC
равно 1. Найдите площадь треугольника ABC
.
Ответ. \frac{3\sqrt{6}}{2}
.
Указание. Пусть O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
, K
— точка пересечения его медиан, BH
— высота. Тогда BK=\frac{2}{3}BM=2
, треугольники BKO
и OKM
прямоугольные, OK=KM=1
. Отсюда
\angle BMA=45^{\circ},~BH=\frac{3\sqrt{2}}{2},
а отрезок AM
находится из прямоугольного треугольника MOC
.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2000, задача 3, вариант 2.4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2000, с. 92, задача 3, вариант 2.4