17231. В равнобедренном треугольнике ABC
известны стороны AB=BC=8
, AC=4
. На стороне BC
выбрана точка M
, для которой окружности, вписанные в треугольники ABM
и ACM
, касаются друг друга. Найдите площади треугольников ABM
и ACM
.
Ответ. 3\sqrt{15}
, \sqrt{15}
.
Решение. Обозначим через K
, L
, N
, P
и Q
точки касания, как указано на рисунке. Обозначим также
BK=BL=x,~AK=AN=AQ=y,~CQ=CP=u,~MP=MN=ML=v.
тогда
\syst{x+y=8\\y+u=4\\x+2v+u=8.}
Разность первого и второго уравнений системы запишем в виде
x-u=(x+v)-(u+v)=4,
а третье уравнение —
(x+v)+(u+v)=8.
Получилась система уравнений
\syst{(x+v)-(u+v)=4\\(x+v)+(u+v)=8\\}
относительно x+v
и u+v
, из которой находим
BM=x+v=6,~MC=u+v=2.
Следовательно,
S_{\triangle ABM}-S_{\triangle ACM}=BM:CM=3:1,~\Rightarrow
S_{\triangle ACM}=\frac{1}{4}S_{\triangle ABC}=\frac{1}{4}AC\cdot\sqrt{AB^{2}-\frac{1}{4}AC^{2}}=\frac{1}{2}\sqrt{64-4}=\sqrt{15},
S_{\triangle ABM}=3S_{\triangle ACM}=3\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический и экономический факультеты НГУ. — 2001, задача 3, вариант 1.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 93, задача 3, вариант 1.1