17235. В параллелограмме ABCD
угол BAD
равен \arccos\frac{1}{3}
. Окружность, проходящая через вершины A
, B
и C
, пересекает продолжение стороны AD
в точке M
и продолжение стороны CD
— точке K
. Известно, что AM=23
, CK=22
. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. 120\sqrt{2}
.
Решение. Обозначим AB=CD=x
, BC=AD=y
, \angle BAD=\alpha
. Трапеция ABCM
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Значит,
MC=AB=x,~\angle CMD=\angle CDM=\alpha.
Из равнобедренного треугольника CMD
получаем
MD=2MC\cdot\cos\alpha,~\mbox{или}~23-y=\frac{2}{3}x.
Аналогично, рассмотрев трапецию ABCK
и равнобедренный треугольник ADK
, получим 22-x=\frac{2}{3}y
. Из системы
\syst{23-y=\frac{2}{3}x\\22-x=\frac{2}{3}y\\}
находим, что x=12
, y=15
. Следовательно,
S_{ABCD}=xy\cdot\sin\alpha=12\cdot15\cdot\sqrt{1-\cos^{2}\alpha}=120\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 2.1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 96, задача 3, вариант 2.1