17236. В параллелограмме ABCD
сторона BC
в два раза больше стороны AB
. Окружность, проходящая через вершины A
, B
и C
, пересекает продолжение стороны AD
в точке M
и продолжение стороны CD
— в точке K
. Известно, что AM=15
, CK=12
. Найдите площадь параллелограмма.
Ответ. 18\sqrt{15}
.
Решение. Положим AB=CD=x
, AD=BC=2x
. Трапеция ABCM
вписана в окружность, поэтому она равнобедренная. Значит, треугольник MCD
равнобедренный с основанием
DM=AM-AD=15-2x
и боковыми сторонами MC=AB=x
. Аналогично, треугольник KAD
равнобедренный с основанием
DK=CK-CD=12-x
и боковыми сторонами AK=AD=2x
.
Углы MDC
и KDA
при основаниях равнобедренных треугольников равны как вертикальные, значит эти треугольники подобны, причём коэффициент подобия равен \frac{CM}{AK}=\frac{1}{2}
, поэтому
\frac{DM}{DA}=2,~\mbox{или}~\frac{12-x}{15-2x}=2~\Rightarrow~x=6~\Rightarrow~AD=2x=12,~DM=15-2x=3.
Пусть CH
— высота параллелограмма ABCD
, опущенная на прямую AD
. Из равнобедренного треугольника MDC
находим, что
CH=\sqrt{CD^{2}-DH^{2}}=\sqrt{6^{2}-\left(\frac{3}{2}\right)^{2}}=\frac{3}{2}\sqrt{15}.
Следовательно,
S_{ABCD}=AD\cdot CH=12\cdot\frac{3}{2}\sqrt{15}=18\sqrt{15}.
Источник: Вступительный экзамен на механико-математический факультет НГУ. — 2001, задача 3, вариант 2.2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 2001, с. 97, задача 3, вариант 2.2