1724. Докажите, что центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.
Указание. Воспользуйтесь признаком равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе.
Решение. Пусть окружность с центром O
касается сторон угла с вершиной C
в точках A
и B
. Поскольку касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания, то треугольники OAC
и OBC
прямоугольные. Они равны по катету (радиус окружности) и гипотенузе (сторона OC
— общая). Значит, \angle OCA=\angle OCB
. Следовательно, CO
— биссектриса данного угла.