1726. Расстояние от точки M
до центра O
окружности равно диаметру этой окружности. Через точку M
проведены две прямые, касающиеся окружности в точках A
и B
. Найдите углы треугольника AOB
.
Ответ. 30^{\circ}
, 30^{\circ}
, 120^{\circ}
.
Указание. В прямоугольном треугольнике OAM
катет OA
вдвое меньше гипотенузы OM
, поэтому \angle AMO=30^{\circ}
.
Решение. В прямоугольном треугольнике OAM
катет OA
вдвое меньше гипотенузы OM
, поэтому \angle AMO=30^{\circ}
, а \angle AOM=60^{\circ}
. Из равенства прямоугольных треугольников OAM
и OBM
следует, что
\angle BOM=\angle AOM=60^{\circ}.
Значит,
\angle AOB=\angle BOM+\angle AOM=120^{\circ},
а так как треугольник AOB
— равнобедренный, то
\angle BAO=\angle ABO=30^{\circ}.