17270. Один из острых углов прямоугольного треугольника равен 30^{\circ}
, а катет, лежащий против этого угла, равен a
. Через вершину прямого угла проведена окружность, касающаяся гипотенузы и отсекающая от катетов равные хорды Найдите её радиус.
Ответ. \frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}
.
Решение. Пусть ABC
— данный треугольник, AC\perp BC
, BC=a
, O
— центр окружности, а E
и D
— точки пересечения окружности с катетами AC
и BC
соответственно, EC=CD
.
Вписанный в окружность прямой угол DCE
опирается на диаметр, поэтому точки O
, E
и D
лежат на одной прямой, а ECD
— равнобедренный прямоугольный треугольник с острым углом 45^{\circ}
. Пусть радиус окружности равен r
. Тогда расстояния от точки O
до сторон AC
и BC
будут равны r\sin45^{\circ}=\frac{r}{\sqrt{2}}
, а расстояние до AB
равно r
.
Пусть S
— площадь исходного треугольника ABC
. Тогда
S=\frac{1}{2}\left(AB\cdot r+AC\cdot\frac{r}{\sqrt{2}}+BC\cdot\frac{r}{\sqrt{2}}\right)=\frac{1}{2}r\left(2a+\frac{a\sqrt{3}}{\sqrt{2}}+\frac{a}{\sqrt{2}}\right)=\frac{ar}{2\sqrt{2}}(2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1),
В то же время,
S=\frac{1}{2}BC\cdot AC=\frac{1}{2}\cdot a\sqrt{3}\cdot=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}.
Из равенства
\frac{ar}{2\sqrt{2}}(2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1)=\frac{a^{2}\sqrt{3}}{2}
находим, что
r=\frac{a\sqrt{6}}{2\sqrt{2}+\sqrt{3}+1}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1975, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 116, задача 2, вариант 1