17272. В трапеции ABCD
основание AD
в три раза больше основания BC
, равного a
. Биссектриса угла A
, равного 45^{\circ}
, проходит через середину боковой стороны CD
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 4a^{2}\sqrt{2}
.
Решение. Пусть F
— середина боковой стороны CD
, E
— точка пересечения биссектрисы AF
угла BAD
с прямой BC
. Из равенства треугольников EFC
и AFD
получаем, что EC=AD=3a
.
Поскольку
\angle BEA=\angle DAE=\angle BAE,
треугольник ABE
равнобедренный,
AB=BE=BC+EC=a+3a=4a.
Пусть BH
— высота трапеции. Из равнобедренного треугольника AHB
находим, что
BH=\frac{AB}{\sqrt{2}}=\frac{4a}{\sqrt{2}}=2a\sqrt{2}.
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{BC+AD}{2}\cdot BH=\frac{a+3a}{2}\cdot a\sqrt{2}=4a^{2}\sqrt{2}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1975, задача 2, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1975, с. 117, задача 2, вариант 3