17275. В прямоугольном треугольнике ABC
, больший катет BC
которого равен 5, из вершины прямого угла C
опущена высота CD
. В треугольник CBD
вписана окружность с центром O
, радиус которой равен 1. В каком отношении прямая AO
делит площадь треугольника ABC
.
Ответ. 6:5
.
Решение. Пусть F
, G
и H
— точки касания окружности со сторонами соответственно BC
, DC
и BD
треугольника BCD
. Обозначим CD=x
и BD=y
. Тогда, поскольку DGOH
— квадрат со стороной 1,
CF=CG=x-1,~BF=BH=y-1~\Rightarrow
BC=5=x-1=CF+BF=(x-1)+(y-1)=x+y-2~\Rightarrow~x+y=7.
С другой стороны, по теореме Пифагора x^{2}+y^{2}=25
. Из системы
\syst{x+y=7\\x^{2}+y^{2}=25.\\}
находим, что x=4
, y=4
или x=4
, y=3
.
Пусть CD=x=4
и BD=y=3
, а прямая AO
катет BC
в точке E
. Из подобия прямоугольных треугольников ACD
и ABC
, получаем
\frac{CD}{AC}=\frac{BD}{BC}~\Rightarrow~AC=\frac{BC\cdot CD}{BD}=\frac{5\cdot3}{4}=\frac{15}{4}\lt5,
Из подобия прямоугольных треугольников OFE
и ACE
получаем
\frac{EF}{FO}=\frac{OF}{AC},~\mbox{или}~\frac{EC-CF}{AC}=\frac{EC}{OF}~\Rightarrow~\frac{EC-CH}{AC}=\frac{EC}{OF}~\Rightarrow
\Rightarrow~\frac{EC-2}{\frac{15}{4}}=\frac{EC}{1}=EC~\Rightarrow~EC=\frac{30}{11}~\Rightarrow~BF=BC-EC=5-\frac{30}{11}=\frac{25}{11}.
Следовательно,
\frac{S_{\triangle ABE}}{S_{\triangle ACE}}=\frac{BF}{CF}=\frac{\frac{30}{11}}{\frac{25}{11}}=\frac{6}{5}.
Если CD=x=4
и BD=y=3
, то рассуждая аналогично, получим AC=\frac{20}{3}\gt5=BC
, что противоречит условию задачи.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1976, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1976, с. 119, задача 3, вариант 3