17278. Площадь прямоугольника ABCD
равна 48, а его диагональ BD
равна 10. На плоскости выбрана точка O
, удалённая от вершин B
и D
на одинаковое расстояние, равное 13. Найдите расстояние от точки O
до ближайшей вершины прямоугольника.
Ответ. \sqrt{\frac{269}{5}}
.
Решение. Обозначим AB=CD=x
, AD=BC=y
. Пусть x\lt y
. Из условия задачи следует, что
\syst{x^{2}+y^{2}=100\\xy=48\\}
Из этой системы находим, что AB=CD=x=6
, AD=BC=y=8
.
Пусть точки O
и A
лежат по одну сторону от прямой BD
(рис. 1), а диагонали прямоугольника пересекаются в точке M
. Обозначим
\angle ADB=\alpha,~\angle ODB=\beta.
Из прямоугольных треугольников BCD
и OMB
находим, что
\sin\alpha=\frac{3}{5},~\cos\alpha=\frac{4}{5},~\cos\beta=\frac{5}{13},~\sin\beta=\frac{12}{13}.
Тогда
\cos\angle ADO=\cos(\beta-\alpha)=\cos\beta\cos\alpha+\sin\beta\sin\alpha=
=\frac{5}{13}\cdot\frac{4}{5}+\frac{12}{13}\cdot\frac{3}{5}=\frac{56}{65}.
По теореме косинусов
OA^{2}=AD^{2}+OD^{2}-2AD\cdot OD\cos\angle ADO=64+169-2\cdot8\cdot13\cdot\frac{56}{65}=
=233-\frac{869}{5}=\frac{1165-869}{5}=\frac{269}{5}.
Следовательно,
OA=\sqrt{\frac{269}{5}}.
Поскольку
OA=\sqrt{\frac{269}{5}}\lt13=OD\lt OC,
то OA
— расстояние от точки O
до наименее удалённой от неё вершины A
прямоугольника.
Аналогично для случая, когда точки O
и A
лежат по разные стороны от прямой BD
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1977, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 119, задача 3, вариант 2