17279. Два прямоугольных треугольника ABC
и BCD
имеют общую гипотенузу BC
, равную 5, и расположены так, что катеты AB
и CD
пересекаются в точке O
. Известно, что радиус окружности, вписанной в треугольник DOB
, в 3 раза больше радиуса окружности, вписанной в треугольник AOC
, а катет BD
равен 3. Найдите площадь треугольника BOC
.
Ответ. \frac{9\sqrt{6}-6}{8}
.
Решение. Пусть AO=x
. Из подобия треугольников BOD
и AOC
следует, что AC=1
и OD=3x
, причём
4=CD=OD+OC=OD+\sqrt{AC^{2}+AO^{2}}=3x+\sqrt{x^{2}+1}~\mbox{или}~.
\sqrt{x^{2}+1}=4-3x.
Корни этого уравнения равны \frac{1}{4}(6+\sqrt{6})
и \frac{1}{4}(6-\sqrt{6})
. Первый из них посторонний, поскольку \frac{1}{4}(6+\sqrt{6})\gt\frac{4}{3}
. Тогда
S_{\triangle AOC}=\frac{1}{2}OA\cdot AC=\frac{1}{2}x=\frac{1}{8}(6-\sqrt{6}),~S_{\triangle BOD}=3^{2}S_{\triangle AOC}=\frac{9}{8}(6-\sqrt{6})
Следовательно,
S_{\triangle BOC}=S_{\triangle BCD}-S_{\triangle BOD}=\frac{1}{2}\cdot4\cdot3-\frac{9}{8}(6-\sqrt{6})=\frac{1}{8}(48-54+9\sqrt{6})=\frac{9\sqrt{6}-6}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1977, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 121, задача 3, вариант 3