17280. Основание AB
трапеции ABCD
равно a
, угол A
прямой, острый угол B
при основании равен \alpha
. Известно, что окружности, построенные на основаниях AB
и CD
трапеции как на диаметрах, касаются. Найдите площадь трапеции.
Ответ. \frac{a^{2}}{4\tg^{3}\alpha}(2\tg^{2}\alpha+1-\sqrt{4\tg^{2}\alpha+1})\cdot\sqrt{4\tg^{2}\alpha+1}
.
Решение. Пусть CH
— высота трапеции. Положим CD=2x
. Тогда радиусы окружностей с диаметрами CD
и AB
равны x
и \frac{a}{2}
соответственно, а так как AD
— общая внешняя касательная этих окружностей, то (см. задачу 365)
AD=2\sqrt{x\cdot\frac{a}{2}}~\Rightarrow~AD^{2}=2ax.
В то же время, по теореме Пифагора
AD^{2}=CH^{2}=(BH\tg\alpha)^{2}=(AB-CD)^{2}\tg^{2}\alpha=(a-2x)^{2}\tg^{2}\alpha.
Значит,
(a-2x)^{2}\tg^{2}\alpha=2ax~\Leftrightarrow~4x^{2}\tg^{2}\alpha-2ax(1+2\tg^{2}\alpha)+a^{2}\tg^{2}\alpha=0~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~x=\frac{a}{4\tg^{2}\alpha}(1+2\tg^{2}\alpha\pm\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}).
Поскольку \alpha\lt90^{\circ}
, то BH=a-2x\gt0
, откуда x\lt\frac{a}{2}
. Легко проверить, что условию задачи удовлетворяет только корень
x=\frac{a}{4\tg^{2}\alpha}(1+2\tg^{2}\alpha-\sqrt{1+4\tg^{2}\alpha}).
Следовательно,
S_{ABCD}=\frac{1}{2}(AB+CD)\cdot AD=\frac{1}{2}(a+2x)\sqrt{2ax}=
=\frac{a^{2}}{4\tg^{3}\alpha}(2\tg^{2}\alpha+1-\sqrt{4\tg^{2}\alpha+1})\cdot\sqrt{4\tg^{2}\alpha+1}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1977, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1977, с. 122, задача 3, вариант 4