17286. Одна окружность вписана в прямоугольный треугольник, а другая проходит через центр первой и касается одного из катетов треугольника в вершине прямого угла. Найти угол между касательными, проведёнными к каждой из окружностей в точке их пересечения.
Ответ. 60^{\circ}
.
Решение. Пусть O_{1}
и r_{1}
— центр и радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC
с прямым углом при вершине C
, O_{2}
и r_{2}
— центр и радиус второй из данных окружностей; K
— проекция точки O_{1}
на тот катет BC
, которого в точке C
касается вторая окружность.
Поскольку O_{2}C
— радиус второй окружности, точка O_{2}
лежит на прямой BC
, а так как O_{1}O_{2}=r_{1}
, O_{1}K\perp BC
и O_{1}K=r_{1}
, то точка K
совпадает с O_{2}
. Таким образом, r_{2}=r_{1}
.
Касательные к окружностям, проведённые в их общей точке M
, соответственно перпендикулярны радиусам O_{1}M
и O_{2}M
, а так как треугольник O_{1}O_{2}M
равносторонний, то угол между этими радиусами равен 60^{\circ}
. Следовательно, угол между касательными к окружностям, проведёнными в точке M
, тоже равен 60^{\circ}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1979, задача 4, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 126, задача 4, вариант 2