17288. В окружность радиуса R
вписан прямоугольный треугольник. Найдите радиус вписанной в этот треугольник окружности, если расстояние между центрами этих окружностей равно \frac{1}{2}R
.
Ответ. \frac{3}{8}R
.
Решение. Первый способ. Пусть I
— центр, а r
— радиус вписанной окружности данного треугольника ABC
; O
— центр описанной окружности, т. е. середина гипотенузы AB=2R
; M
— точка касания вписанной окружности с гипотенузой.
Треугольник IOM
прямоугольный, поэтому
MO^{2}=IO^{2}-IM^{2}=\frac{1}{4}R^{2}-r^{2}.
Катеты треугольника ABC
равны R+r+MO
и R+r-MO
. По теореме Пифагора
BC^{2}+AC^{2}=AB^{2},~\mbox{или}~(R+r+MO)^{2}+(R+r-MO)^{2}=4R^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~2(R+r)^{2}+2MO^{2}=4R^{2}~\Leftrightarrow~2R^{2}+4Rr+2r^{2}+2\left(\frac{1}{4}R^{2}-r^{2}\right)=4R^{2}~\Leftrightarrow
\Leftrightarrow~\frac{3}{2}R^{2}=4Rr~\Leftrightarrow~r=\frac{3}{8}R.
Второй способ. Пусть I
— центр, а r
— радиус вписанной окружности данного треугольника, O
— центр описанной окружности. По формуле Эйлера
OI^{2}=R^{2}-2Rr~\mbox{или}~\frac{1}{4}R^{2}=R^{2}-2Rr~\Leftrightarrow~r=\frac{3}{8}R.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1979, задача 4, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1979, с. 128, задача 4, вариант 4