17289. Диагональ AC
выпуклого четырёхугольника ABCD
равна \sqrt{2}
. Углы ABC
, ACD
и DAC
равны соответственно 105^{\circ}
, 42^{\circ}
и 63^{\circ}
. Найдите площадь круга, описанного около треугольника ABD
.
Ответ. 2\pi(2-\sqrt{3})
.
Решение. Сумма углов CAD
и ACD
равна
63^{\circ}+42^{\circ}=105^{\circ}~\Rightarrow~\angle ADC=180^{\circ}-105^{\circ}=75^{\circ}~\Rightarrow~\angle ADC+\angle ABC=180^{\circ}.
Значит, четырёхугольник ABCD
вписан в некоторую окружность.
Пусть радиус этой окружности равен R
. По теореме синусов
R=\frac{AC}{2\sin\angle ADC}=\frac{\sqrt{2}}{2\sin75^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cos15^{\circ}}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}}=\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt{6}+\sqrt{2}}=\frac{2}{\sqrt{3}+1}=\sqrt{3}-1.
Следовательно, площадь круга равна
\pi R^{2}=\pi\cdot(\sqrt{3}-1)^{2}=2\pi(2-\sqrt{3}).
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 2, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 128, задача 2, вариант 1