17290. В сектор, дуга которого содержит 30^{\circ}
, вписан квадрат, причём на дуге сектора лежат две вершины этого квадрата. Радиус сектора равен 13. Доказать, что площадь квадрата не превосходит 20.
Решение. Пусть O
— вершина сектора; A
— одна из вершин квадрата, лежащая на дуге; B
— проекция точки A
на биссектрису угла между радиусами сектора.
Пусть сторона квадрата равна 2x
. Тогда M
— середина стороны квадрата (см. задачу 1676)
AB=x,~OB=2x+x\ctg15^{\circ}=x(2+\ctg15^{\circ})^{2}.
По теореме Пифагора из прямоугольного треугольника ABO
получаем
AO^{2}=AB^{2}+OB^{2},~\mbox{или}~169=x^{2}+x^{2}(2+\ctg15^{\circ})^{2}~\Rightarrow~x^{2}=\frac{169}{1+(2+\ctg15^{\circ})^{2}}.
Заметим, что
\ctg15^{\circ}=\frac{1+\cos30^{\circ}}{\sin30^{\circ}}=\frac{1+\sqrt{3}}{\frac{1}{2}}=2+\sqrt{3},
поэтому
4x^{2}=\frac{169}{1+(4+\sqrt{3})^{2}}=\frac{4\cdot169}{20+8\sqrt{3}}=\frac{169}{5+2\sqrt{3}}=\frac{169(5-2\sqrt{3})}{25-12}=13(5-2\sqrt{3})\lt13\cdot5=65\lt20.
Что и требовалось доказать.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 2, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 128, задача 2, вариант 2