17291. Диагональ BE
выпуклого пятиугольника ABCDE
равна \sqrt{2}
. Углы BAE
, CED
, BCD
и CDE
равны соответственно 135^{\circ}
, 25^{\circ}
, 100^{\circ}
и 100^{\circ}
. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника ABC
.
Ответ. 1.
Решение. Из треугольника DCE
находим, что \angle DCE=55^{\circ}
, поэтому
\angle BCE=100^{\circ}-55^{\circ}=45^{\circ}~\Rightarrow~\angle BCE+\angle BCE=45^{\circ}+\angle BAE=135^{\circ}=180^{\circ}.
Значит, около четырёхугольника ABCE
можно описать окружность.
Пусть её радиус равен R
. по теореме синусов из треугольника ABE
находим, что
R=\frac{BE}{2\sin\angle BAE}=\frac{\sqrt{2}}{2\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}}=1.
Осталось заметить, что эта же окружность описана около треугольника ABC
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1980, задача 2, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1980, с. 129, задача 2, вариант 3