17298. Боковая сторона AD
трапеции ABCD
перпендикулярна основаниям AB
и CD
, AB=3
, CD=1
. Окружность, построенная на стороне BC
как на диаметре, касается стороны AD
. Найдите площадь трапеции.
Ответ. 4\sqrt{3}
.
Решение. Пусть E
— точка касания окружности и стороны AD
, O
— центр окружности. Тогда OE
— средняя линия трапеции,
OE=\frac{AB+CD}{2}=\frac{3+1}{2}=4,
а радиус окружности R=OE=2
.
Пусть H
— отличная от B
точка пересечения окружности с основанием AB
. Точка H
лежит на окружности с диаметром BC
, поэтому \angle BHC=90^{\circ}
, а ADCH
— прямоугольник. Значит, CH
— высота трапеции, а
BH=AB-AH=AB-CD=3-1=2.
Из прямоугольного треугольника BHC
находим, что
CH=\sqrt{BC^{2}-BH^{2}}=\sqrt{16-4}=2\sqrt{3}.
Следовательно,
S_{ABCD}=OE\cdot CH=2\cdot2\sqrt{3}=4\sqrt{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук НГУ. — 1982, задача 3С, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 133, задача 3С, вариант 2