17301. В прямоугольной системе координат угол между векторами \overrightarrow{a}=\left(\alpha;1;\sqrt{\frac{6}{5}}\right)
и \overrightarrow{b}=(3;1;0)
равен 45^{\circ}
. Найдите \alpha
.
Ответ. 1.
Решение. Заметим, что
|\overrightarrow{a}|=\sqrt{\alpha^{2}+1^{2}+\left(\sqrt{\frac{6}{5}}\right)^{2}}=\sqrt{\alpha^{2}+1+\frac{6}{5}}=\sqrt{\alpha^{2}+\frac{11}{5}},
|\overrightarrow{b}|=\sqrt{3^{2}+1^{2}+0^{2}}=\sqrt{10},
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=\alpha\cdot3+1\cdot1+\sqrt{\frac{6}{5}}\cdot0=3\alpha+1.
В то же время,
\overrightarrow{a}\cdot\overrightarrow{b}=|\overrightarrow{a}|\cdot|\overrightarrow{b}|\cdot45^{\circ}=\sqrt{\alpha^{2}+\frac{11}{5}}\cdot\sqrt{10}\cdot\frac{\sqrt{2}}{2}=\sqrt{5a^{2}+11}.
или
3\alpha+1=\sqrt{5a^{2}+11}~\Leftrightarrow~\syst{5\alpha^{2}+11=(3\alpha+1)^{2}\\\alpha\geqslant-\frac{1}{3}\\}~\Leftrightarrow~\syst{2\alpha^{2}+3\alpha-5=0\\\alpha\geqslant-\frac{1}{3}\\}\Leftrightarrow~\alpha=1.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1982, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1982, с. 132, задача 3, вариант 1