17309. Два ромба ABCD
и AMNK
, имеющие общую вершину A
, расположены так, что стороны AB
и AM
образуют угол 30^{\circ}
. Известно, что углы при вершине A
каждого ромба равны 60^{\circ}
, площадь пересечения ромбов равна 5\sqrt{3}
, а площадь их объединения равна 23\sqrt{3}
. Найдите площадь каждого из ромбов.
Ответ. S_{ABCD}=16\sqrt{3}
, S_{AKNM}=12\sqrt{3}
.
Решение. Диагонали ромба являются биссектрисами его углов, поэтому
\angle NAK=\angle CAB=30^{\circ}
и точки A
, B
и N
лежат на одной прямой (как и точки A
, K
и C
).
Пусть стороны ромбов ABCD
и AMNK
равны x
и y
соответственно. Тогда их диагонали AC
и AN
равны соответственно x\sqrt{3}
и y\sqrt{3}
. Будем для определённости считать, что x\geqslant y
(при противоположном соотношении сторон решение аналогично). Рассмотрим два возможных расположения данных ромбов.
А. Пусть точка N
лежит на отрезке AB
, т. е. y\sqrt{3}\leqslant x
(рис. 1). В этом случае треугольник AKN
— пересечение ромбов, его площадь равна \frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}
, а площадь объединения равна сумме площадей ромба ABCD
и треугольника AMN
, т. е. \frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}+\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}
. Из системы
\syst{\frac{x^{2}\sqrt{3}}{2}+\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}=23\sqrt{3}\\\frac{y^{2}\sqrt{3}}{4}=5\sqrt{3}\\}
находим x^{2}=36
и y^{2}=20
или x=6
и y=\sqrt{20}
. Но тогда
y\sqrt{3}=\sqrt{60}\gt x=6,
что противоречит условию y\sqrt{3}\leqslant x
. Таким образом, полученный результат не соответствует исходному предположению пункта А.
Б. Пусть теперь точка B
лежит на отрезке AN
, т. е. y\sqrt{3}\gt x
(рис. 2). Тогда ромбы (с учётом того, что \leqslant x
) расположены так, как изображено на рис. 2).
Пусть E
— точка пересечения отрезков KN
и BC
. Треугольник KEC
прямоугольный, поскольку \angle EKC=60^{\circ}
как внешний угол ромба AMNK
, а \angle ECK=30^{\circ}
, а так как
KC=AC-AK=x\sqrt{3}-y~\Rightarrow~S_{\triangle KEC}=\frac{\sqrt{3}}{8}(x\sqrt{3}-y)^{2}.
Значит, площадь четырёхугольника ABEK
, т. е. площадь пересечения ромбов, равна разности площадей треугольников ABC
и KEC
, т. е.
\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{8}(x\sqrt{3}-y)^{2}.
Площадь объединения равна сумме площадей ромба AMNK
и треугольников ADC
и KEC
, т. е.
\frac{y^{2}\sqrt{3}}{2}+\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{\sqrt{3}}{8}(x\sqrt{3}-y)^{2}.
Из системы
\syst{\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}-\frac{\sqrt{3}}{8}(x\sqrt{3}-y)^{2}=5\sqrt{3}\\\frac{x^{2}\sqrt{3}}{4}+\frac{y^{2}\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{8}(x\sqrt{3}-y)^{2}=23\sqrt{3}\\}~\Leftrightarrow~\syst{-(x^{2}+y^{2})+2\sqrt{3}xy=40\\5(x^{2}+y^{2})-2xy\sqrt{3}=184\\}~\Leftrightarrow~\syst{x^{2}+y^{2}=56\\xy=16\\}
с учётом условия 0\lt y\leqslant x
получаем, что x=4\sqrt{2}
и y=2\sqrt{6}
, а так как
y\sqrt{3}=6\sqrt{2}\gt4\sqrt{2}=x,
то найденные значения x
и y
удовлетворяют условиям пункта Б. Следовательно, площадь ромба ABCD
равна 16\sqrt{3}
, а площадь ромба AKNM
равна 12\sqrt{3}
.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1984, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1984, с. 138, задача 3, вариант 1