17313. Основания BC
и AD
трапеции ABCD
таковы, что AD=3BC
. На сторонах AB
и CD
выбраны соответственно точки M
и N
, причём BM=2AM
и прямая MN
делит площадь трапеции пополам. Найдите отношение CN:ND
.
Ответ. 4:3
.
Решение. Проведём через точку M
прямую, перпендикулярную основаниям трапеции; пусть L
и K
— точки её пересечения с прямыми BC
и AD
соответственно. Положим BC=a
и AD=3a
, LK=h
Тогда
S_{ABCD}=\frac{a+3a}{2}\cdot h=3ah,
а площадь каждой из частей равна ah
. Из условия BM=2AM
и подобия прямоугольных треугольников BLM
и AKM
получаем
ML=\frac{2}{3}h,~MK=\frac{1}{3}h~\Rightarrow~S_{\triangle MBC}=\frac{1}{2}a\cdot\frac{2}{3}h=\frac{1}{3}ah~\mbox{и}~\frac{1}{2}\cdot3a\cdot\frac{1}{3}h=\frac{1}{2}ah.
Четырёхугольники MBCN
и AMND
равновелики и площадь каждого равна ah
, поэтому
S_{\triangle MCN}=ah-\frac{1}{3}ah=\frac{2}{3}ah,~S_{\triangle MND}=ah-\frac{1}{2}ah=\frac{1}{2}ah.
Высота, проведённая из вершины M
, для этих треугольников общая, поэтому отношение их площадей равно отношению оснований CN
и ND
. Следовательно,
\frac{CN}{ND}=\frac{S_{\triangle MCN}}{S_{\triangle MND}}=\frac{\frac{2}{3}ah}{\frac{1}{2}ah}=\frac{4}{3}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 140, задача 3, вариант 1