17314. На сторонах BC
и CD
параллелограмма ABCD
выбраны соответственно точки M
и N
. Прямые BN
и AM
пересекаются в точке K
, при этом KN=3BK
, DN=2CN
. Найдите отношение BM:MC
.
Ответ. 3:8
.
Решение. Положим BC=a
, BK=x
, KN=3x
. Пусть прямые AD
и BN
пересекаются в точке T
. Треугольник TND
подобен треугольнику BNC
с коэффициентом \frac{DN}{CN}=2
, поэтому
DT=2BC=2a~\Rightarrow~AT=AD+DT=a+2a=3a,~NT=2BN=2\cdot4x=8x,
а так как по условию KN=3BK=3x
, то
KT=KN+NT=3x+8x=11x.
Треугольник BKM
подобен треугольнику TKA
с коэффициентом \frac{BK}{KT}=\frac{x}{11x}=\frac{1}{11}
. Значит,
BM=\frac{1}{11}AT=\frac{1}{11}\cdot3a~\Rightarrow~MC=BC-BM=a-\frac{3}{11}a=\frac{8}{11}a.
Следовательно,
\frac{BM}{MC}=\frac{\frac{3}{11}a}{\frac{8}{11}a}=\frac{3}{8}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 2
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 141, задача 3, вариант 2