17315. На сторонах BC
и AC
треугольника ABC
выбраны соответственно точки M
и N
. Прямые AM
и BN
пересекаются в точке K
, причём BK=2KN
, AK=3KM
. Найдите отношение BM:MC
.
Ответ. 5:4
.
Решение. Положим KN=a
, BK=2a
. Через точку M
проведём прямую, параллельную стороне AC
. Пусть эта прямая пересекает отрезок BN
в точке L
. Треугольник MKL
подобен треугольнику CKN
с коэффициентом \frac{MK}{KA}=\frac{1}{3}
, поэтому
KL=\frac{1}{3}KN=\frac{1}{3}a~\Rightarrow
BL=BK-KL=2a-\frac{1}{3}a=\frac{5}{3}a,~LN=KN+KL=a+\frac{1}{3}a=\frac{4}{3}a.
Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{AM}{MC}=\frac{BL}{LN}=\frac{\frac{5}{3}a}{\frac{4}{3}a}=\frac{5}{4}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 3
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 141, задача 3, вариант 3