17316. Точки M
и N
выбраны соответственно на основании BC
и на боковой стороне CD
трапеции ABCD
. Прямые AM
и BN
пересекаются в точке K
, причём AK=3KM
, KN=2BK
. Найдите отношение CN:ND
.
Ответ. 3:1
.
Решение. Положим KM=x
. Через точку N
проведём прямую параллельную основаниям трапеции. Пусть эта прямая пересекает отрезок AM
в точке L
. Треугольник LKN
подобен треугольнику MKB
с коэффициентом \frac{KN}{KB}=2
, поэтому KL=2KM=2x
, а так как по условию AK=3KM=3x
, то
AL=AK-KL=3x-2x=x.
Следовательно, по теореме о пропорциональных отрезках
\frac{CN}{ND}=\frac{ML}{LA}=\frac{3x}{x}=3.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1985, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1985, с. 141, задача 3, вариант 4