17317. Сторона BC
треугольника ABC
равна a
, угол A
равен \alpha
(\alpha\gt90^{\circ}
). Точка D
лежит на прямой AB
и равноудалена от точек A
и C
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки B
, C
, D
.
Ответ. \frac{a}{2|\sin2\alpha|}
.
Решение. Пусть E
— середина стороны AC
. Из условия следует, что точка D
лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AC
, т. е. на прямой, проходящей через точку E
перпендикулярно AC
. Поскольку угол A
треугольника ABC
тупой, точка D
лежит на продолжении отрезка AB
за точку A
.
Треугольник ADC
равнобедренный, угол DAC
при его основании равен 180^{\circ}-\alpha
, поэтому по теореме о внешнем угле треугольника
\angle ADC=\alpha-(180^{\circ}-\alpha)=2\alpha-180^{\circ}~\Rightarrow~\sin\angle ADC=\sin(2\alpha-180^{\circ})=-\sin2\alpha.
Заметим, что
90^{\circ}\lt\alpha\lt180^{\circ}~\Rightarrow~180^{\circ}\lt2\alpha\lt360^{\circ}~\Rightarrow~-\sin2\alpha\gt0.
Пусть R
— искомый радиус окружности, проходящей через точки B
, C
, D
, т. е. описанной окружности треугольника BCD
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{BC}{-2\sin2\alpha}=-\frac{a}{2\sin2\alpha}=\frac{a}{2|\sin2\alpha|}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 1
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 142, задача 3, вариант 1