17320. В остроугольном треугольнике ABC
сторона BC
равна a
, угол A
равен \alpha
. Точка O
— центр окружности, описанной около треугольника ABC
. Найдите радиус окружности, проходящей через точки B
, C
и O
.
Ответ. \frac{a}{2\sin2\alpha}
.
Решение. Поскольку треугольник ABC
остроугольный, центральный угол BOC
описанной окружности треугольника вдвое больше соответствующего вписанного угла BAC
, т. е. \angle BOC=2\alpha
.
Пусть R
— искомый радиус окружности, описанной около треугольника BOC
. Тогда по теореме синусов
R=\frac{BC}{2\sin\angle BOC}=\frac{a}{2\sin2\alpha}.
Источник: Вступительный экзамен на факультет естественных наук и геолого-геофизический факультет НГУ. — 1986, задача 3, вариант 4
Источник: Белоносов В. С., Фокин М. В. Задачи вступительных экзаменов по математике. Изд. 8-е, испр. и доп. — Новосибирск: Сибирское университетское издательство, 2005. — 1986, с. 144, задача 3, вариант 4